面试题：Fortran大规模矩阵运算高级优化技巧

Question

假设在Fortran中处理一个非常大的M×N矩阵（M和N都在10000以上），进行矩阵转置并与另一个同样规模的矩阵相乘，在内存有限的情况下，如何利用Fortran的特性（如数组存储方式、并行计算等）来优化这个运算过程，详细说明思路和可能用到的关键语句。

Answer 1

思路

1. 分块处理：由于内存有限，不能一次性处理整个大矩阵。将大矩阵分成多个小块（子矩阵），对每个子矩阵进行转置和乘法操作。这样可以有效减少内存占用。
2. 利用Fortran数组存储方式：Fortran数组按列存储（Column - major order），这在处理矩阵时可以利用其特性来优化内存访问，例如在访问连续列元素时能更高效地利用缓存。
3. 并行计算：使用OpenMP等并行框架对分块后的矩阵运算进行并行化，充分利用多核CPU的优势提高运算速度。

关键语句

1. 分块操作：

! 定义块大小
integer, parameter :: block_size = 1000
! 定义矩阵维度
integer :: M, N
! 假设已有矩阵A, B和结果矩阵C
real :: A(M, N), B(M, N), C(M, M)
! 循环处理每个块
do i = 1, M, block_size
    do j = 1, N, block_size
        ! 计算块的大小
        integer :: i_end = min(i + block_size - 1, M)
        integer :: j_end = min(j + block_size - 1, N)
        ! 转置A的子矩阵
        real :: sub_A(block_size, block_size)
        sub_A = A(i:i_end, j:j_end)
        sub_A = transpose(sub_A)
        ! 与B的子矩阵相乘并累加到C
        do k = 1, M, block_size
            integer :: k_end = min(k + block_size - 1, M)
            C(i:i_end, k:k_end) = C(i:i_end, k:k_end) + matmul(sub_A, B(j:j_end, k:k_end))
        end do
    end do
end do

2. 并行计算（使用OpenMP）：

! 引入OpenMP库
use omp_lib
! 并行化分块操作
!$omp parallel do collapse(2)
do i = 1, M, block_size
    do j = 1, N, block_size
        ! 计算块的大小
        integer :: i_end = min(i + block_size - 1, M)
        integer :: j_end = min(j + block_size - 1, N)
        ! 转置A的子矩阵
        real :: sub_A(block_size, block_size)
        sub_A = A(i:i_end, j:j_end)
        sub_A = transpose(sub_A)
        ! 与B的子矩阵相乘并累加到C
        do k = 1, M, block_size
            integer :: k_end = min(k + block_size - 1, M)
            C(i:i_end, k:k_end) = C(i:i_end, k:k_end) + matmul(sub_A, B(j:j_end, k:k_end))
        end do
    end do
end do
!$omp end parallel do