面试题：C语言多维数组下标访问优化与应用

Question

考虑一个稀疏的五维数组 `int sparse[2][3][4][5][6];`（稀疏意味着大部分元素为0），设计一种基于下标的高效存储结构和访问方法来表示这个稀疏数组，使得存储空间得到有效利用。编写代码实现将一些非零元素插入到这个稀疏数组结构中，以及通过给定的五维下标访问对应元素的功能。同时分析你的实现的时间复杂度和空间复杂度。

Answer 1

1. 存储结构设计：
   • 我们可以使用一个std::unordered_map来存储非零元素，unordered_map的键为五维下标组成的元组，值为对应下标的非零元素值。
   • 在C++中，可以使用std::tuple来表示五维下标。
2. 代码实现：

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <tuple>

class SparseArray {
private:
    std::unordered_map<std::tuple<int, int, int, int, int>, int> data;
public:
    void insert(int i, int j, int k, int l, int m, int value) {
        if (value != 0) {
            data[{i, j, k, l, m}] = value;
        }
    }

    int access(int i, int j, int k, int l, int m) const {
        auto it = data.find({i, j, k, l, m});
        if (it != data.end()) {
            return it->second;
        }
        return 0;
    }
};

3. 时间复杂度分析：
   • 插入操作：std::unordered_map的插入操作平均时间复杂度为$O(1)$，因为unordered_map使用哈希表实现，在平均情况下，插入一个元素的时间复杂度不依赖于元素个数。
   • 访问操作：std::unordered_map的查找操作平均时间复杂度也为$O(1)$。同样，由于哈希表的特性，平均情况下查找一个元素的时间复杂度与元素个数无关。
4. 空间复杂度分析：
   • 空间复杂度取决于存储的非零元素个数。如果有$n$个非零元素，每个元素需要存储五维下标和一个整数值，std::unordered_map存储这些元素的空间复杂度为$O(n)$。相比于原始的五维数组int sparse[2][3][4][5][6]需要的空间$2\times3\times4\times5\times6 = 720$个int大小，如果非零元素个数$n$远小于$720$，则可以有效节省空间。

你可以这样使用上述代码：

int main() {
    SparseArray sparseArray;
    sparseArray.insert(0, 1, 2, 3, 4, 10);
    std::cout << "Value at (0, 1, 2, 3, 4): " << sparseArray.access(0, 1, 2, 3, 4) << std::endl;
    std::cout << "Value at (1, 2, 3, 4, 5): " << sparseArray.access(1, 2, 3, 4, 5) << std::endl;
    return 0;
}

以上代码和分析基于C++语言，使用std::unordered_map来实现稀疏数组的高效存储和访问。在其他语言中，也有类似的哈希表数据结构可以实现相似的功能，原理类似。