面试题：Fortran矩阵运算中等难度优化问题

Question

在Fortran中，给定一个二维矩阵A，大小为N×N，要实现矩阵与自身的乘法运算（A = A * A），请描述至少两种优化矩阵乘法运算的方法，并给出核心代码片段。

Answer 1

方法一：缓存优化

缓存优化的核心思路是利用缓存局部性原理，通过合理安排矩阵元素的访问顺序，减少缓存缺失次数。对于二维矩阵乘法，通常以分块的方式进行计算。

program matrix_multiplication
    implicit none
    integer, parameter :: N = 100
    real :: A(N, N)
    integer :: i, j, k, l, m
    real :: temp

   ! 初始化矩阵A
    do i = 1, N
        do j = 1, N
            A(i, j) = real(i + j)
        end do
    end do

   ! 分块大小
    integer, parameter :: block_size = 16

    do i = 1, N, block_size
        do j = 1, N, block_size
            do k = 1, N, block_size
                do l = i, min(i + block_size - 1, N)
                    do m = k, min(k + block_size - 1, N)
                        temp = A(l, m)
                        do j1 = j, min(j + block_size - 1, N)
                            A(l, j1) = A(l, j1) + temp * A(m, j1)
                        end do
                    end do
                end do
            end do
        end do
    end do
end program matrix_multiplication

方法二：并行计算

利用多核处理器的并行能力，对矩阵乘法进行并行化。在Fortran中，可以使用OpenMP库来实现并行计算。

program matrix_multiplication_parallel
    use omp_lib
    implicit none
    integer, parameter :: N = 100
    real :: A(N, N)
    integer :: i, j, k
   ! 初始化矩阵A
    do i = 1, N
        do j = 1, N
            A(i, j) = real(i + j)
        end do
    end do

    !$omp parallel do private(i, j, k) collapse(2)
    do i = 1, N
        do j = 1, N
            A(i, j) = 0.0
            do k = 1, N
                A(i, j) = A(i, j) + A(i, k) * A(k, j)
            end do
        end do
    end do
    !$omp end parallel do
end program matrix_multiplication_parallel

在上述并行代码中，collapse(2) 指令表示将最外层的两个循环合并为一个并行循环，提高并行效率。private(i, j, k) 表示每个线程都有自己独立的 i、j、k 变量副本，避免线程间的数据冲突。编译时需要加上支持OpenMP的编译选项，例如 gfortran -fopenmp。