面试题：C++递归函数复杂度分析之复杂嵌套递归

Question

给出如下C++递归函数： ```cpp int complexRecursion(int n) { if (n <= 1) { return n; } return complexRecursion(n - 1)+complexRecursion(n - 2)+complexRecursion(n - 3); } ``` 请精确分析该递归函数的时间复杂度，要求使用主定理（Master Theorem）或其他合适的方法，并详细说明分析过程。同时，提出一种优化方案，将该递归函数的时间复杂度降低，并分析优化后函数的时间复杂度。

Answer 1

时间复杂度分析

1. 不使用主定理分析：

   • 对于函数complexRecursion(int n)，当n > 1时，每次调用会产生三个递归调用，分别是complexRecursion(n - 1)，complexRecursion(n - 2)和complexRecursion(n - 3)。
   • 设T(n)为计算complexRecursion(n)所需的时间。
   • 当n <= 1时，T(n)=O(1)，因为直接返回n，只涉及简单的比较和返回操作，时间为常数。
   • 当n > 1时，T(n)=T(n - 1)+T(n - 2)+T(n - 3)+O(1)，其中O(1)表示比较n <= 1以及加法操作的时间。
   • 由于这是一个线性递归关系，且递归深度最大为n，每次递归分支数为3，所以时间复杂度为指数级。可以大致估算为O(3^n)。因为在递归树中，每层的节点数是以3的倍数增长，递归深度最大为n。

2. 尝试使用主定理分析：

   • 主定理的形式为T(n)=aT(n/b)+f(n)，其中a是递归调用的次数，b是每次递归中问题规模的缩小因子，f(n)是每次递归调用之外的工作。
   • 对于我们的函数T(n)=T(n - 1)+T(n - 2)+T(n - 3)+O(1)，不符合主定理的标准形式，因为这里不是n/b的形式，而是n - k（k = 1,2,3）的形式，所以不能直接应用主定理。

优化方案

1. 使用动态规划优化：
   • 思路：通过保存已经计算过的结果，避免重复计算。
   • 代码如下：

int optimizedComplexRecursion(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    }
    int dp[n + 1];
    dp[0]=0;
    dp[1]=1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (i == 2) {
            dp[i]=dp[i - 1]+dp[i - 2]+0;
        } else {
            dp[i]=dp[i - 1]+dp[i - 2]+dp[i - 3];
        }
    }
    return dp[n];
}

2. 优化后时间复杂度分析：
   • 这里使用了一个大小为n + 1的数组dp来存储中间结果。
   • 初始化dp[0]和dp[1]的时间复杂度为O(1)。
   • 然后通过一个for循环从i = 2到n进行计算，每次循环内的操作时间复杂度为O(1)，循环次数为n - 1次。
   • 所以总的时间复杂度为O(n)，相比优化前的O(3^n)有了显著的降低。

综上，原递归函数时间复杂度为O(3^n)，优化后的动态规划函数时间复杂度为O(n)。