面试题：Python函数中if语句条件分支在递归场景下的应用与性能分析

Question

编写一个递归Python函数，接受一个正整数n。函数内部使用if语句条件分支实现：当n等于1时，返回1；当n为偶数时，返回n加上调用该函数(n/2)的结果；当n为奇数时，返回n减去调用该函数(n - 1)的结果。完成代码编写后，分析该递归函数在不同n值下的时间复杂度和空间复杂度，特别是if语句条件分支对性能的影响，并提出可能的优化方案。

Answer 1

def recursive_function(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n % 2 == 0:
        return n + recursive_function(n // 2)
    else:
        return n - recursive_function(n - 1)

时间复杂度分析

1. 偶数情况：当 n 为偶数时，函数会调用 recursive_function(n // 2)。这意味着每次调用问题规模减半，类似于二分查找的复杂度分析，时间复杂度为 $O(\log n)$。
2. 奇数情况：当 n 为奇数时，函数会调用 recursive_function(n - 1)，问题规模减少1。由于每次奇数调用后 n 变为偶数，然后问题规模减半，总体上时间复杂度还是接近 $O(n)$。因为奇数情况使得递归深度线性增加，而偶数情况虽然减半但不能主导整体复杂度。综合来看，该函数的时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度分析

1. 递归调用栈：递归函数的空间复杂度主要取决于递归调用栈的深度。在最坏情况下（例如 n 从一个很大的奇数开始，每次减1直到1），递归调用栈的深度为 n，所以空间复杂度为 $O(n)$。

if语句条件分支对性能的影响

1. 分支预测：现代CPU具有分支预测机制，if 语句的条件分支可能会影响分支预测的准确性。如果条件分支的结果是可预测的，CPU可以提前预取指令，提高执行效率；反之，如果分支结果不可预测，会导致流水线冲刷，降低性能。在这个函数中，由于 n 的奇偶性在不同输入下没有明显规律，可能会对分支预测产生一定负面影响。

优化方案

1. 记忆化（Memoization）：通过使用字典来存储已经计算过的 n 的结果，可以避免重复计算，从而将时间复杂度从 $O(n)$ 降低到接近 $O(\log n)$。

memo = {}
def optimized_recursive_function(n):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n == 1:
        result = 1
    elif n % 2 == 0:
        result = n + optimized_recursive_function(n // 2)
    else:
        result = n - optimized_recursive_function(n - 1)
    memo[n] = result
    return result

2. 迭代实现：将递归函数转换为迭代函数，通过循环来模拟递归过程，可以避免递归调用栈带来的空间开销，空间复杂度可优化为 $O(1)$。

def iterative_function(n):
    stack = []
    result = 0
    while n != 1:
        stack.append(n)
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = n - 1
    result = 1
    while stack:
        n = stack.pop()
        if n % 2 == 0:
            result = n + result
        else:
            result = n - result
    return result