面试题：C语言二维数组内存优化与算法实现

Question

假设你有一个非常大的二维数组（例如10000行10000列），在内存有限的情况下，如何优化存储和访问该二维数组以提高性能？请详细阐述你的思路，并编写代码实现一个算法，在这个大二维数组中找到具有最大元素和的子矩阵（子矩阵的大小和位置任意）。

Answer 1

优化存储和访问二维数组思路

1. 分块存储：将大的二维数组划分为多个较小的子块（例如100x100的子块），每次仅将需要处理的子块加载到内存中。这样可以有效减少内存占用。
2. 使用稀疏矩阵表示：如果该二维数组大部分元素为0，可以使用稀疏矩阵格式（如CSR、CSC）存储，只记录非零元素及其位置，进一步节省内存。
3. 缓存优化：合理利用缓存，例如按照行优先顺序访问数组元素，以提高缓存命中率，减少内存访问次数，从而提升性能。

寻找最大子矩阵算法思路

1. 前缀和优化：对于每一行，计算前缀和数组，这样对于任意列范围，可以在O(1)时间内计算出该行对应子列的元素和。
2. 枚举列范围：固定两列，将这两列之间的所有行的元素和压缩成一维数组，然后使用最大子数组和算法（如Kadane算法）找到这个一维数组的最大子数组和，这个和就是以这两列确定的列范围为边界的最大子矩阵和。
3. 遍历所有列范围：通过遍历所有可能的列范围，找到整个二维数组中的最大子矩阵和。

代码实现（Python）

def maxSubArray(nums):
    current_sum = nums[0]
    max_sum = nums[0]
    for num in nums[1:]:
        current_sum = max(num, current_sum + num)
        max_sum = max(max_sum, current_sum)
    return max_sum

def maxSubMatrix(matrix):
    rows = len(matrix)
    cols = len(matrix[0])
    max_sum = float('-inf')
    for left in range(cols):
        sums = [0] * rows
        for right in range(left, cols):
            for i in range(rows):
                sums[i] += matrix[i][right]
            max_sum = max(max_sum, maxSubArray(sums))
    return max_sum

你可以使用以下方式调用这个函数：

# 示例矩阵
matrix = [
    [1, 3, -1],
    [2, 3, -2],
    [-1, -2, -3]
]
print(maxSubMatrix(matrix))

复杂度分析

1. 时间复杂度：寻找最大子矩阵的时间复杂度为O(rows * cols^2)，因为我们需要枚举所有列范围（O(cols^2)），对于每个列范围需要遍历所有行（O(rows)），而求一维数组最大子数组和的时间复杂度为O(rows)。
2. 空间复杂度：空间复杂度为O(rows)，因为我们在计算过程中只需要存储一个长度为rows的一维数组用于记录每行的和。